د الوتکې د معادلی: څنګه کړي؟ ډولونه الوتکه معادلو

په مختلفو لارو چارو (یو DoT او ناقل، د ناقل او د دوه ټکي، درې ټکي، او داسې نور) په دغه الوتکه فضا کې تعریف شي. دا د دې په ذهن کې، د الوتکې د معادلی کولای شي د مختلفو ډولونو لري. همدارنګه د ځانګړو شرایطو سره سم الوتکه ښايي موازي، عمودي، وګالي، او داسې نور په دې کې به په دې ليکنه کې خبرې وکړي. موږ به د زده کړي چې د الوتکې او نه یوازې د عمومي معادله کړي.

د معادلی عادي فورمه

فرض R د فضا د _3، چې يو مستطيل همغږي سیستم XYZ ده. مونږ يی د ناقل α، چې به د ناقل α په پای کې له لارې د پیل ټکی O. څخه خوشې شي رسم الوتکه P چې دا عمودي.

په خپل سر ټکی پوښتنه = (x، y، z) P کښلی. د ټکی پوښتنه ننوتنه یا ساین اېن لیک مخ وړانګې د ویکتور. د ناقل په اوږدوالي α مخ = IαI او Ʋ = (cosα، cosβ، cosγ) مساوی.

دغه واحد د ویکتور، په توګه د ویکتور α د لارښوونې چې متوجه. α، β او γ - دي کونجونه چې د ناقل او مثبتو د لارښوونو تر منځ دي جوړ شوي Ʋ فضا محورونو x، y، z په ترتیب سره. د پر ناقل QεP Ʋ یو ټکی وړاندوینې يو ثابت چې مساوي له مخ (P، Ʋ) = مخ (r≥0) ده.

د پورته معادله مانا ده چې کله مخ = 0. په دې صورت کې د N یوازې الوتکه، به ټکی اې (α = 0)، کوم چې د اصلي، او د واحد د ویکتور Ʋ، نقطه ای څخه خوشې واوړي به د P عمودي وي، که څه هم خپل استقامت، چې دا مانا لري، چې د ویکتور Ʋ ټاکل تر نښه. مخکینی معادلې زموږ الوتکه P دی، په ناقل فورمه څرګنده کړه. خو د خپلو همغږي محتویات ده:

P څخه تر یا مساوي له 0. موږ په عادي بڼه الوتکه معادله پيداکيږي.

د عمومي معادله

که په همغږي معادله کوم شمېر چې د صفر سره مساوي ته نه ده له خوا ضرب، موږ د معادلی معادل د دې چې ډېر الوتکه تعریف تر لاسه کړي. دا به په لاندې بڼه لري:

دلته، د A، B، C - د وخت له شمېر څخه صفر توپير لري. دا معادله ده د الوتکې د عمومي فورمه معادله په نامه.

د الوتکو د معادلو. د ځانګړو قضیو

د معادلی په عمومي ډول سره د اضافي شرايطو بدلون موندلی شي. يو شمېر يې په پام کې ونیسئ.

فرض چې ضريب يو دی 0. دا ښيي چې د الوتکې د موازي د ټاکل محور غويی. په دې صورت کې د معادلې په بڼه بدلوي: Wu + زېټ + D = 0.

په همدې ډول، د معادلی په بڼه او به د لاندې شرايطو سره توپير:

• لومړی، که د B = 0، معادله ته د تبرګي + زېټ + D = 0 بدلونونه، چې به د محور نانځکې ته د parallelism ښيي.
• دوهم، که د C = 0، د معادلی په تبرګي + By + D = 0 بدلون دی، چې د ده په اړه موازي د ټاکل محور Oz وايي.
• دریم، که د D = 0، معادله به د تبرګي + By + زېټ = 0، چې به دې مانا ده چې د الوتکې د تېرېږي اې (مبدا) ښکاري.
• څلورم، که يو = B = 0، معادله ته زېټ + D = 0 بدلونونه، چې دا کار به د Oxy parallelism.
• پنځم، که د B = c = 0، معادله تبرګي + D = 0، چې دا مانا لري، چې د الوتکې د ده موازي Oyz شي.
• Sixthly، که يو = = c 0، د معادلی په بڼه Wu + D = 0، نیسي i.e.، به د parallelism Oxz راپور ورکړي.

د په برخو معادله فورمه

په هغه صورت کې چې د شمېر د A، B، C، D له صفر څخه توپير لري، د معادلی په بڼه (0) کیدای شي په لاندې ډول وي:

x / A + y / b + z / C = 1،

پکې يو = -D / A، B = -D / B، C = -D / ج

موږ په توګه په ټوټې د الوتکې په پایله کې د معادلی ترلاسه کړي. دا بايد په نښه شي، چې دا الوتکه به د سره همغږي (یو، 0،0)، نانځکې ته د ټکی د ایکس محور څخه تېرېږي، - (0، ب، 0)، او Oz - (0،0، s).

په پام سره معادله د x / A + y / b + z / C = 1، دا نه چې د يو ټاکل همغږي سیستم د نصب الوتکه خپلوان عت په سخته ده.

د عادي ناقل همغږي

د الوتکې د (P) د ناقل عادي N همغږي دي چې د الوتکې د عمومي معادله، i.e. N (A، B، C) د ضريبونو لري.

د دې لپاره چې د عادي n د همغږي په ګوته، دا کافي د عمومي معادله الوتکې ورکړل پوه دی.

کله چې په برخو معادله، چې د کارولو په بڼه x / A + y / b + z / C = 1، په توګه کله چې د عمومي معادله په کارولو سره شي ليکل شي د هر عادي ناقل همغږي يو ورکړل الوتکه: (1 / A + 1 / b + 1 / ج) د.

بايد يادونه وشي چې د مرسته عادي ناقل د مختلفو ستونزو د حل لپاره. ډير عام ستونزو په ثبوت عمودي يا موازي الوتکو د الوتکې او یا د الوتکو او نيغه کرښو تر منځ د کونجونه تر منځ کونجونه موندلو د کاري شامل دي،.

د الوتکې د معادلې او د ټکی عادي ناقل همغږي له مخې ډول

يو nonzero ناقل (N)، د يوه ورکړل الوتکه عمودي، د يوه ټاکل الوتکه په نامه نورمال (عادي).

فرض چې د همغږي فضا کې د (يو مستطيل همغږي سیستم) Oxyz جوړ:

• سره همغږي Mₒ ټکی (hₒ، uₒ، zₒ)؛
• صفر ناقل N = يو * زه ب * J + ت * K +.

تاسو باید د الوتکې چې د عمودي د عادي N Mₒ ټکی تېرېږي معادله کړي.

د فضا په موږ هر خپل سری ټکی وټاکي او د M (x، y، z) کښلی. د هر ټکی د M (x، y، z) وړانګې د ویکتور راځئ به R = x * زه + y * J + z * K، او د یوه ټکی Mₒ وړانګې ناقل (hₒ، uₒ، zₒ) - rₒ = hₒ * زه + uₒ * J + zₒ * k. دغه ټکی د M به د يو ورکړل الوتکه تړاو، که ناقل MₒM د ناقل N عمودي وي. موږ د لیکلو د orthogonality د حالت د شکیدلۍ محصول په کارولو:

[MₒM، N] = 0.

راهیسې MₒM = R-rₒ، د الوتکې د ویکتور معادله به د دې په شان وګوري:

[R - rₒ، N] = 0.

دا معادله هم کولای شي د بل بڼه لري. د دې هدف لپاره، د شکیدلۍ محصول د مال، او د معادلی چپ لوری بدل کړي دي. [R - rₒ، N] = [R، N] - [rₒ، N]. که [rₒ، N] په توګه د denoted، موږ د لاندې معادلې څخه د ترلاسه کولو: [R، N] - يو = 0 او يا هم [R، N] = S، چې د د د د د ورکړل ټکي چې تړاو الوتکه د وړانګې-vectors عادي ناقل د وړاندوينې د constancy څرګندوي.

اوس تاسو کولای شي چې د همغږي ډول ثبت الوتکه زموږ د ویکتور معادله ترلاسه [R - rₒ، N] = 0. راهیسې R-rₒ = (x-hₒ) * زه + (y-uₒ) * J + (z-zₒ) * د K، او n = يو * زه ب * J C + * K +، موږ ولري:

دا وګرځي چې موږ لرو معادله ده جوړه شوې الوتکه عمودي د عادي n د ټکی له لارې د تيريدو:

د * (x hₒ) + ب * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

د الوتکې د معادلې او د ناقل الوتکه collinear دوه ټکي همغږي له مخې ډول

موږ دوه پخپل سر ټکي M '(x، y، z) او د M "(x"، y "، z")، او همدارنګه د ناروغی ناقل (يو، يو "، يو ‴) تعریف کړي.

اوس موږ کولای معادله ټاکل الوتکه چې د موجوده ټکی د څارنې او د M "تېرېږي، او هر سره د همغږي د M (x، y، z) موازي ته د ورکړل ناقل ټکی ولیکئ.

نو M'M vectors x = {x، y-y؛ فلتر '} او M "M = {x" -x'، y 'y؛ z "-z'} باید سره د ناقل coplanar وي يو = (د '، یو "، يو ‴)، چې دا مانا لري چې (M'M M" M، یو) = 0.

نو زموږ په فضا کې د الوتکې د معادلی به د دې په شان وګوري:

د الوتکې د معادلی ډول، درې ټکي تيريدو

راځئ چې وايي موږ درې ټکي ولري: (x، y، z)، (x، y، z)، (x ‴ لري ‴، z ‴)، چې د همدې کرښې تړاو نه لري. دا اړينه ده، چې د الوتکې د درې ټکي مشخص له لارې د تيريدو معادله وليکئ. هندسې تيوري استدالل کوي چې د الوتکې په دې ډول شتون ولری، دا یوازې د یو او یوازې. څرنګه چې په دې الوتکه کې تېرېږي ټکی (x، y، z)، د هغې معادله فورمه به وي:

دلته، د A، B، C او د دي په ورته وخت کې له صفر څخه توپير لري. هم ورکړل الوتکې د دوو ډیرو ټکو تېرېږي (x "، y"، z ") او (x ‴، y ‴، z ‴). په دې تړاو بايد د شرايطو په دې ډول ترسره شي:

اوس موږ کولای يونيفورم سيستم جوړ د معادلو (خطی) سره unknowns u، v، w:

زموږ په صورت کې x، y يا z ولاړ خپل سر ټکی چې پوره معادله (1). په پام معادله (1) او د معادلو (2) او (3) د معادلو په شکل پورته اشاره د سیستم یو سیستم، د ناقل پې N (A، B، C) چې nontrivial ده. دا ځکه چې د نظام او ټاکونکی صفر ده.

معادله (1) چې موږ ترلاسه کړ، په دې کې د الوتکې د معادله ده. 3 ټکی هغې په رښتيا ځي، او دا اسانه وګورئ. د دې، چې موږ په لومړي قطار د عناصرو له خوا د بیانونکي ته پراختیا ورکړي. د موجوده شتمنيو او ټاکونکی په لاندې ډول چې زموږ د الوتکې په عین وخت کې د درې په اصل ټاکل ټکی تېرېږي (x، y، z)، (x "، y"، z ")، (x ‴، y ‴، z ‴). نو موږ پرېکړه وکړه چې د امریکا په مخ کې وظيفه.

د الوتکو تر منځ Dihedral زاويه

Dihedral زاويه يو اړخيز هندسي بڼه له خوا دوه نیم الوتکې چې د مستقيمو خطونو څخه سرچينه جوړه کړه. په بل عبارت، د فضا چې د محدود ته د نیم الوتکو برخه ده.

فرض موږ له لاندې معادلې دوه الوتکې لري:

موږ پوهیږو چې د ناقل N = (A، B، C) او N¹ = (A¹، H¹، S¹) ته ټاکل الوتکو له مخې دي عمودي. په دې برخه کې، φ vectors N او N¹ مساوي زاويه (dihedral)، چې د دغو الوتکو په منځ کې پروت تر منځ زاويه. د شکیدلۍ محصول دی ورکړل By:

NN¹ = | N || N¹ | هيوادنيو φ،

ځکه

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

دا بس دي چې 0≤φ≤π په پام کې ده.

په حقیقت کې دوه الوتکې چې تېرېږي، فورمې دوه زاويه (dihedral): φ ₁ او _{2 φ.} د خپل حاصل وي برابر π (φ ₁ + φ ₂ = π). لکه څنګه چې د هغوی د ساننونو خپل مطلق ارزښتونو سره مساوي دي، خو د دوی په مختلفو نښې دي، چې، د هيوادنيو φ ₁ = -cos φ _2. که په معادله (0) له خوا د A، B او د الف، -B د C او -C په ترتیب سره، د معادلی ځای دی، تر لاسه کوو، به د همدې الوتکې یوازې زاويه φ په معادله هيوادنيو φ معلوم، = NN ¹ / | N || N ¹ | دا به له خوا π-φ بدل شي.

د عمودي الوتکه معادله

په نامه عمودي الوتکه، تر منځ چې د زاويه په 90 درجو ده. د موادو د پورته وړاندې په کارولو سره، موږ کولای شو عمودي چې د نورو د الوتکې د معادله پيدا کړي. فرض موږ دوه الوتکې لري: د تبرګي + By + زېټ + D = 0، او + A¹h V¹u S¹z + D = 0. موږ کولای شو چې د دوی orthogonal دي که هيوادنيو = 0. دا په دې مانا چې د NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

د يو موازي الوتکه معادله

دا دوه موازي الوتکې چې په عام نه ټکي لري راجع.

د حالت د موازي الوتکو د (خپل معادلو په توګه په تېرو پاراګراف شان دي) دا ده چې د vectors N او N¹، چې دي ته ورته عمودي، collinear. دا په دې مانا چې د لاندې شرايطو په پوره تناسب:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

که د متناسب شرایط پراخه - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹،

دا ښيي چې د همدې معلوماتو الوتکه. دا په دې مانا چې د معادلې د تبرګي + By + زېټ + D = 0 او + A¹h V¹u S¹z + D¹ = 0 يوه الوتکه تشریح.

د څخه د الوتکې ټکی واټن

فرض کوو چې یوه الوتکه P، چې د ده له خوا (0) ورکول لري. سره همغږي د ټکی څخه په لرې واټن کې دا ضروري ده (hₒ، uₒ، zₒ) = Qₒ. ، تاسو باید په الوتکه II عادي بڼه لپاره دا معادله راوړي:

(Ρ، v) = مخ (r≥0).

په دې صورت کې ρ (x، y، z) دی زموږ د ټکی پوښتنه، پروت n مخ وړانګې د ویکتور - n ایا د عمودي، چې د صفر نقطې څخه خوشې شو اوږدوالي، V - ده د واحد ناقل، چې په یو ترتیب دی.

د توپير ρ-ρº وړانګې د یوه ټکی پوښتنه = (x، y، z) Vector، د n پورې او پوښتنه ₀ = (hₒ، uₒ، zₒ) دی لکه د يو ناقل، د وړاندوینې په مطلق ارزښت چې د یوه ورکول ټکی د وړانګې د ویکتور v مساوی د واټن d، څخه پوښتنه پیدا کوم چې ضروري ده = ₀ (hₒ، uₒ، zₒ) ته مخه:

D = | (ρ-ρ ^0، v) |، خو

(ρ-ρ ^0، v) = (ρ، v ) - (ρ ^0، v) = مخ (ρ ^0، v).

نو دا په فیصلو څخه،

D = | (ρ ^0، v) مخ |.

اوس دا څرګنده ده چې له ₀ تر څو پوښتنه الوتکه د (P) د واټن d محاسبه، دا ضروري عادي محتویات الوتکه معادلې څخه استفاده ده، چې د مخ په چپ د بدلون، او د x، y تېر ځای، z عوض (hₒ، uₒ، zₒ).

په دې ډول، موږ د بيان په پایله چې اړتيا ده D مطلق ارزښت پیدا کړي.

د ژبې د پارامترونو په کارولو سره، موږ د روښانه کول:

D = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

که مشخص ټکی پوښتنه ₀ د ناقل تر منځ د الوتکې د مبدا په توګه P بل اړخ دی، نو ρ-ρ ⁰ او V ده یو obtuse زاويه، په دې توګه:

D = - (ρ-ρ ^0، v) = (ρ ^0، v) -p> 0.

په هغه صورت کې چې کله د ټکی پوښتنه ₀ سره په اصل کې پروت د کلنو ورته خوا په تړاو، د حاد زاویې رامنځته شي، چې د ده:

D = (ρ-ρ ^0، v) = مخ - (ρ ^0، v)> 0.

پایله دا ده چې په پخواني حالت (ρ ^0، v)> P، په دويم (ρ ^0، v)

او د هغې د تاجينټ الوتکه معادله

د tangency Mº ټکی د سطحي د الوتکې په اړه - د الوتکې پکې ته چې په سطحه ټکی له لارې رسم کږه د ټولو ممکنه تاجينټ.

له دې سره په سطحه د معادلی F (x، y، z) = 0 د تاجينټ الوتکه د تاجينټ ټکی Mº معادله (hº، uº، zº) به وي فورمه:

F _x (hº، uº، zº) (hº x) + F _x (hº، uº، zº) (uº y) + F _x (hº، uº، zº) (z-zº) = 0.

که د سطحي ټاکل شوې ده چې په صراحت z = f (x، y)، نو د معادلی له خوا د تاجينټ الوتکه بیان شوی دی:

z-zº = f (hº، uº) (hº x) + F (hº، uº) (y uº).

د دوو الوتکو د تقاطع

په دری بعدي فضا د يو همغږي سيستم (مستطيل) Oxyz، دوه الوتکې P 'او P' چې په پرله پسې او نه سمون نه ورکول دی. څرنګه چې هر الوتکه، چې په يو مستطيل سيستم همغږي تعريف د عمومي معادله ده، داسې فرض کړو چې N + B x + 'y "= 0 او A او ▪ د معادلو A'x + V'u S'z + D له خوا تعریف شوي." د "z + D" = 0. په دې صورت کې موږ د الوتکې P 'او د عادي n "(A"، ب "، ج") د الوتکې P' عادي n '(A، B، C) لري. لکه څنګه چې زموږ د الوتکې نه دي سره موازي او د مطابقت نه، نو د دغو vectors دي collinear نه. د ریاضیاتو د ژبې په کارولو سره، موږ باید د دې حالت کولای شي په توګه وليکل شي: ▪ '≠ n "↔ (A، B، C) ≠ (λ * او"، λ * په "، λ * ج")، λεR. پرېږدئ چې نيغه کرښه چې په څلور لاري P کې پروت دی او د P "، به د لیک د یو له خوا denoted شي، په دې صورت کې د يو = P '∩ P".

او - يو ليکه د ټکي (عام) الوتکو P 'او P "زياتره پکې شامل دي. دا په دې مانا چې د هر ټکی د کرښې يو پورې د همغږي، بايد د وخت د معادلی A'x + V'u S'z + D '= 0 او د "x + B' + C y" z + D "= 0 قناعت. دا په دې مانا چې د ټکی د همغږي به د لاندې معادلې يو ځانګړي حل شي:

پایله یې دا ده چې د معادلو په دغه سيستم د حل (عمومي) به په کرښه چې به د تقاطع P 'او P "د ټکی په توګه عمل وکړي د ټکي هر د همغږي په ګوته، او په یوه همغږي سیستم Oxyz (مستطيل) فضا د يو ليکه معلوم کړي.